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(비정기) Mr.K's Post/Weekly paper

R.A.M. #1. 무리수 √2의 값을 구해보자! : Stage 3

부제 : 글올리기도 바쁜데 부제는 무슨 부제 ㅋㅋㅋ

Continued Fractions

… from Section 2.5, (√5 + 1)/2 and √2 can be written as continued fractions. In fact, this is true for any real number. But to begin with, there are a number of types of continued fractions. We will briefly study simple continued fractions, that is, expressions of the type


denoted by <x0, x1, x2, …>, where x0 ∈ Z and xn ∈ N ∪ {0} for n ∈ N. If xn = 0 for all n > m ∈ N and xm ≠ 0, then the simple continued fraction is said to be finite, is denoted by <x0, x1, x2, …, xm>, and represents a rational real number. A simple continued fraction that is not finite is said to be infinite, and a converging infinite continued fraction is always represented by an irrational number. …
(위 내용은 A Friendly Introduction to ANALYSIS 2/e에서 일부 발췌했음을 알려드립니다)


연분수란, 위의 그림에서 보시는 것처럼 생긴 녀석들을 말합니다

연분수는, 첫째 항은 임의의 정수로 두고 둘째 항부터는 음이 아닌 정수로 구성된 수열로 표현할 수 있습니다
이 때, 1보다 큰 어떤 m에 대해서 xm까지는 0이 아니다가 x(m+1)에서 0이 된다면 그 연분수는 유한하다고 얘기하고 이것은 유리수를 나타냅니다

이런 유한한 연분수를 제외한 나머지 연분수를 무한하다고 얘기하고, 이것은 무리수를 나타냅니다


유한한 연분수의 예, 책에 따라 < > 대신 [ ]로 표기하기도


이 연분수를 가지고도 √2의 근사값을 구할 수 있습니다

단, 한가지 알아야 할 것이 있는데, n ≤ √2 < n+1을 만족하는 정수 n을 알아야 합니다
그러한 n을 첫째 항 x0에 대입합니다(여기서는 1이겠죠)

그리고나서 (√2 - x0)의 역수를 생각하는데(∵ 맨 위에 있는 그림에서의 형태와 같게 만들기 위해서입니다)

n' ≤ (√2 - x0)의 역수의 분모 < n'+1을 만족하는 정수 n'을 찾아서 x1에 대입합니다

그리고 또 ((√2 - x0)의 역수의 분모 - x1)의 역수를 생각하고, 이런 식으로 √2를 연분수 수열*로 표현할 수 있습니다



그런 과정을 거치고 나서 얻은 수열에 대해
마지막 항부터 역순으로 계산을 해주기만 하면 우리가 원하는 값을 얻을 수 있습니다




글을 읽어보시면서
'왜 연분수로 늘어놓았다가 다시 역순으로 계산을 할까? 귀찮게' 라고 반문하실 분이 있을지도 모르겠습니다만

지금 우리는 정확한 값을 모르는 무리수 x를 들고 있습니다
그러나 이 x가 어떤 정수 n에 대해 n ≤ x < n+1임을 알고 있습니다
그리고 우리는 가장 기본적인 사칙연산(여기서는 특히 나눗셈)을 할 줄 알고 있습니다

그래서 이 x를 조금 눈에 보이도록, 손으로 얼추 계산할 수 있도록 만들어주는게 '수열로의 변환'입니다

그렇게 변환한 수열을 연분수꼴로 쭉 써놓고
분수꼴을 유지하며 역순으로 계산한 후에, 마지막으로 나오는 분수의 분자·분모에 대해 나눗셈을 해주기만 하면 됩니다



많이 늦었네요

다음부터는 미리 포스팅을 해놓고 편하게 드라마를 보든지 해야겠습니다 -_-;

(포스팅 소요시간 : 한 번 날려먹은거 빼고 약 55분)


*연분수 수열: 정확한 명칭(딱히 있는 것 같지도 않지만)을 몰라서 그냥 저렇게 씁니다