Matrix : Part 3

안녕하십니까 Mr. K입니다

지난 포스트에서도 언급했듯이 사정이 좀 생겨서

군대 안가고 약 1년정도 휴학할 예정이나, 그동안 돈을 벌어야 하는 관계로

Matrix의 포스팅이 끝나면 한동안 주간포스트를 접어야 할수도 있겠습니다

오늘 다룰 내용은 행렬의 연산, 그중에서도 곱셈에 대해 다루고자 합니다

영희의 어머니는 할머니의 생신을 맞아 송편과 인절미를 만들려고 한다. 송편과 인절미를 각각 1000g씩 만드는 데 필요한 재료의 양과 각 재료의 1g당 가격은 다음 표와 같다. 아래의 물음에 …

위의 글상자에서 송편과 인절미를 만드는 데 필요한 비용을 구하는 식은

송편 : 650×2 + 300×3 + 50×1 = 2250 (원)

인절미 : 780×2 + 200×3 + 20×1 = 2180 (원)

임을 알아보았습니다

이 때, 송편과 인절미를 만드는 데 필요한 재료의 무게를 행렬 A로,

송편과 인절미를 만드는 데 필요한 재료의 1g당 가격을 행렬 B로 나타내고,

송편과 인절미를 만드는 데 필요한 비용을 행렬 C로 나타내면

세 행렬 A, B, C 사이에는 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있습니다

일반적으로 m×n행렬 A와 n×p행렬 B에 대하여, 행렬 A의 i번째 행의 각 성분과 행렬 B의 j번째 열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i, j)성분으로 갖는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라고 하고, 기호로는 A × B, AB로 나타냅니다

일단 이 Matrix 포스트에서는 2×2행렬을 주로 다룰 것이므로 2×2행렬의 곱에 대해 보게 되면 다음과 같습니다

두 행렬은 같은 꼴이 아니어도 상관없으나,

'왼쪽행렬의 열의 수'와 '오른쪽행렬의 행의 수'는 같아야한다

그렇기 때문에

A가 m×n행렬이고 B가 p×q행렬이라면,

n = p일때만 곱 AB가 정의되고, AB는 m×q행렬이 됩니다

( 반대로 BA를 생각하면, q = m일때만 곱 BA가 정의되고, BA는 p×n행렬이 됩니다 )

행렬의 곱은 위에서 보신 것처럼 약간 특이하게 정의되기 때문에, 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않습니다

그러나 결합법칙, 분배법칙 등은 수를 다룰때와 마찬가지로 성립하지요

위의 것이 결합법칙, 중간의 두줄이 분배법칙, 아래의 것은 상수배에 관한 것이다 (k는 실수)

행렬은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문에

분배법칙의 경우 왼쪽에 곱한 것과 오른쪽에 곱한 것을 따로 설명한다

수를 다룰 때, 같은 수를 여러번 곱한 것을 거듭제곱으로 나타내는데,

행렬에서도 이와 같은 표현을 사용합니다

즉,

아, 증명없이 말만 하고 넘어갈 것이 하나 있습니다

수에서는 0이 아닌 두 수를 곱하게 될 경우 그 결과 역시 0이 아니지만,

행렬에서는 영행렬이 아닌 두 행렬을 곱해도 결과가 영행렬이 되는 경우가 있습니다

정사각행렬중에

처럼 대각성분*은 1이고 나머지는 전부 0인 정사각행렬을 단위행렬( identity matrix )이라고 합니다

흔히 I( 대문자 i ) 또는 E로 나타내는데, 여기서는 E로 쓰겠습니다

*대각성분 : (1, 1)성분, (2, 2)성분, (3, 3)성분, …과 같은 것들

이것들을 모아놓으면 행렬의 대각선이 되며, 현재 필자는 정사각행렬에 대해서만 '대각' 얘기를 할 수 있다고 알고 있음

이것도 증명없이 말만 하고 넘어갈 것입니다만

단위행렬은 임의의 행렬과 곱하게 될 경우 교환법칙이 성립합니다

즉, 다음과 같습니다

'수의 곱셈'에서의 '1' 과 같다고 생각하면 된다

오늘은 여기까지 쓰겠습니다

다음 포스트에서는 역행렬에 대해 다룰 것입니다

간만에 포스팅하니 별로 하는 것 같지도 않고 그러네요 -_-a 중간에 딴짓도 많이하고

(포스팅 소요시간 : 약 110분)