R.A.M. #1. 무리수 √2의 값을 구해보자! : Stage 2

부제 : IE 7.0으로 바꿨는데 이미지 업로드가 안되네.

제곱근의 계산법

피타고라스에 의해 알려진 무리수 √2는 1.41421356…이다. 이 숫자를 쉽게 암기하는 방법은 각자의 요령에 달려 있다. 그런데 이 숫자가 어떻게 나오게 되었을까? 여기에서 제곱근의 계산방법을 알아보기로 하자.


0. 나눗셈의 그것과 비슷하도록 제곱근 기호를 길게 그리고 그 안에 2를 쓴다.

1. 제곱해서 2가 되거나, 모자르지만 그에 가깝게 되는 최대의 수는 1. 그러므로 B1과 C1(그림에 적어놓진 않았지만 몫부분에 해당함, 이하 Ck)에 1을 넣고 B1과 C1을 곱한 결과를 A2에 쓴다.

2. (A1-A2)는 1. 따라서 A3에 1을 넣고 00을 내려오게 한다.

3. B1 밑의 B2에 C1과 같은 1을 넣고 B1과 B2를 합한 값을 B3에 쓴다.

4. 2□×□가 100이 되거나, 모자르지만 그에 가장 가깝게 되는 □를 생각한다. 여기서는 4를 넣으면 24×4=96이 되어 가장 가깝다. 그래서 B3은 24, C2에는 4가 들어간다. 그리고 이 둘의 곱을 A4에 넣는다.

5. 이렇게 하여 B4에 C2와 같은 4를 넣고, 둘의 합계 28을 B5에 써넣는다.

6. 이런 식으로 똑같이 써넣어가면 차례차례로 제곱근을 구할 수 있다.

위에 제시된 그림처럼 계산을 하면 소수점 이하 1만 자리, 2만 자리라도 시간이 허용할 경우 세밀히 구할 수가 있다.

(위 내용은 '수학통이 되는 책'에서 일부 발췌했음을 알려드립니다)

(본문에서는 다소 설명이 부족한 것 같아 글수정을 조금 하였고, 그림은 포토샵으로 직접 그렸습니다)

Mr. K입니다

어제는 갑작스레 나갔다 올 일이 생겨서 오늘에서야 포스팅을 하게 되었습니다;

대략적인 방법은 위에 다 써놓았으니 코드로 구현한 것을 보도록 하겠습니다

#include <stdio.h> double pow10( int ); double squareRoot( double ); const int precision = 10; double realNumber; void main() { printf("양의 제곱근을 구하고 싶은 실수를 입력해줏메 : "); scanf("%lf", &realNumber); printf("\n%.4f의 제곱근은 %.8f임\n", realNumber, squareRoot( realNumber )); } double pow10( int x ) { double result = 1; if( x > 0 ) { int i; for( i = 0; i < x; i++ ) { result *= 10; } } else if( x < 0 ) { int i; for( i = 0; i > x; i-- ) { result /= 10; } } return result; } double squareRoot( double r ) { double result = 0; int i; // 자리수 int j; double left; double right = r; double extend; for( i = 0; i < precision; i++ ) { if( !i ) { // 1+(r-1)/2 is an upper bound of square root of x double upperBound = 1 + ( r-1 ) / 2; for( j = 0; j <= upperBound; j++ ) { if( ( j*j <= r )&&( (j+1)*(j+1) > r ) ) { result = j * pow10( -i ); right = ( right - j*j ) * 100; left = j + j; break; } } } else { for( j = 0; j < 10; j++ ) { extend = left * 10 + j; if( ( extend*j <= right )&&( (extend+1)*(j+1) > right ) ) { result += j * pow10( -i ); right = ( right - extend*j ) * 100; left = extend + j; break; } } } } return result; }

지난번의 Bisection Method와 비교해보면 tolerance는 필요하지 않습니다

단지 소수점 이하의 자리수를 정하는 precision만 필요할 뿐이지요

pow10함수는 10의 거듭제곱을 반환하는 함수이고,

squareRoot함수는 제곱근을 구하는 함수입니다

left는 위 그림의 Bx부분에 해당하고,

right는 위 그림의 Ax부분에 해당합니다

extend는 ●□×□꼴의 계산과정중의 Bx부분에 해당합니다

이번에도 squareRoot함수의 body부분에 대한 설명은 필요 없으리라 생각합니다

혹시나

이 방법을 이용해서 손으로 제곱근을 구해보고 싶은 분들을 위해

√2 외에 √6을 구해보면 아래와 같습니다

오늘의 포스트는 이것으로 마칩니다

다음번에는 또 다른 방법으로 √2를 구하는 방법을 가지고 돌아옵니다 (__)

(포스팅 소요시간 : 두 번 날려먹은거 빼고 약 40분)